درسنامه آموزشی فصل دوم هندسه (2) کلاس یازدهم ریاضی
درس 2: کاربرد تبدیلها
تبدیلهای هندسی شامل بازتاب، انتقال، دوران و تجانس بهطور مستقیم و غیرمستقیم در زندگی واقعی کاربرد دارد؛ برای مثال در سالهای گذشته با کاربرد برخی تبدیلها در کاشیکاری آشنا شدید. آیا میتوانید با تأمل در محیط اطراف خود به نمونههایی اشاره کنید که تبدیلهای هندسی در آن بهکار رفتهاند؟
نقش قالی، خطاطی، کاغذ دیواری و ...
به این تصاویر دقت کنید. کدام یک از تبدیلهای هندسی بر زیبایی خوشنویسیهای زیر افزوده است؟
|
|
|
|
|
|
|
کاربردهایی از بازتاب (قرینهیابی)
بازتاب علاوه بر شاخههای مختلف ریاضی در دیگر علوم نظیر هنر، معماری، فیزیک و... کاربرد دارد. در علم فیزیک، ویژگیهای بازتاب همان ویژگیهای آینهٔ تخت است. کاربردهای دیگری از بازتاب را در ادامه خواهیم دید.
|
|
|
1- میخواهیم کیکی به شکل زیر را بهطور مساوی بین دو نفر تقسیم کنیم. نمای بالای کیک از مربع $BCDE$ و کمان $AE$ از یک دایره تشکیل شده است به طوری که $A$ و $B$ و $E$ روی یک خط هستند.
اگر نمای بالای کیک به شکل زیر بود، تقسیم آن کار سادهای بود؛ چرا که میتوانستیم از روی خط بازتاب $m$ کیک را برش بزنیم و آن را به دو نیمهٔ مساوی تقسیم کنیم.
این شکل، راه سادهای برای برش زدن کیک و تقسیم آن به دو سهم برابر ارائه میکند. توضیح دهید که بازتاب به حل این مسئله چه کمکی کرده است.
شکلهای $a$ نسبت به محور بازتاب قرینهاند پس با هم اندازهاند. همچنین شکلهای $b$ هم نسبت به محور بازتاب خود قرینهاند و در نتیجه هم اندازهاند حالا به ره نفر یک شکل $a$ و یک شکل $b$ میدهیم.
2- یکی از کاربردهای بازتاب، حل مسائلی است که به مسائل همپیرامونی یا هممحیطی معروف است. در این گونه مسائل، هدف این است که بدون اینکه محیط یک چند ضلعی تغییر کند، مساحت آن چند ضلعی را تغییر دهیم.
برای مثال فرض کنید که زمینی به شکل چندضلعی $ABCDE$ داریم که دور آن را حصار کشیدهایم. حال میخواهیم با ثابت نگهداشتن محیط و ثابت نگهداشتن تعداد اضلاع چند ضلعی، بدون اینکه اندازه حصار کشی تغییر کند، مساحت زمین را افزایش دهیم.
به کمک تصویر زیر توضیح دهید که این عمل را چگونه میتوان انجام داد.
در شکل از نقطهٔ $B$ به $D$ وصل میکنیم. سپس آن را به عنوان محور بازتاب در نظر میگیریم. و تصویر نقاط $B$، $C$ و $D$ را نسبت به این محور بهدست میآوریم.
واضح است که تصویر نقاط $B$ و $D$ روی خودشان منطبق است ولی تصویر نقطهٔ $C$ نقطهٔ $C'$ است.
چرا محیط چندضلعی $ABCDE$ با محیط چندضلعی $ABC'DE$ یکی است؟
با توجه به این که بازتاب یک تبدیل طولپا است پس داریم:
$BC = BC'\,\,,\,\,CD = C'D$
${P_{ABCDE}} = AB + BC + CD + DE + EA\xrightarrow[{CD = C'D}]{{BC = BC'}}{P_{ABCDE}} = AB + BC + C'D + DE + EA$
$ \Rightarrow {P_{ABCDE}} = {P_{ABC'DE}}$
مسائل پیدا کردن کوتاهترین مسیر
الف) هرون، ریاضیدانی است که به او دایرةالمعارف ریاضی و فیزیک لقب دادهاند. او که در فاصلهٔ زمانی 250 تا 150 سال قبل از میلاد مسیح در مصر زندگی میکرد برای نخستین بار به کمک بازتاب، دستور پیدا کردن کوتاهترین مسیر را در شرایطی خاص ارائه کرد.
او با این مسئله روبهرو شده بود که: «مردی میخواهد برای برداشتن آب از خانه به ساحل رودخانهای که لبهٔ مستقیمی دارد برود و بعد سطل آب را به اسطبل ببرد که در همان سمت رودخانه است. او از کدام نقطه از ساحل آب بردارد که مسافتی که در مجموع طی میکند، کمترین حالت ممکن باشد؟»
مسئله، پیدا کردن نقطهٔ $M$ روی خط $d$ است بهگونهای که $AM + MB$ کمترین مقدار ممکن باشد.
هرون ابتدا بازتاب $A$ را نسبت به خط پیدا کرد و آن را $A'$ نامید. خط فرضی $A'B$ خط بازتاب را در نقطهای مثل $M$ قطع میکند. او مدعی شد که $M$ جواب مسئله است و $AM + MB$ کوتاهترین مسیر ممکن است.
با هم دلیل ادعای هرون را بررسی میکنیم:
1- برای هر نقطهٔ دلخواه دیگری نظیر ${M_1}$ داریم ${M_1}A = {M_1}A'$ (و به همین ترتیب $AM = A'M$)؛ چرا؟
زیرا با توجه به تعریف بازتاب خط $d$ عمودمنصف پارهخط $AA'$ است و نقاط $M$ و ${M_1}$ روی این خط هستند. بنا بر خاصیت عمودمنصف $AM = A'M$ و $A{M_1} = A'{M_1}$.
2- در مثلث $A'{M_1}B$ داریم $A'{M_1} + {M_1}B \gt A'B$؛ چرا؟
بنابر قضیه نامساوی مثلثی، در هر مثلث مجموع دو ضلع از ضلع سوم بزرگتر است.
از تساوی $A'B = A'M + MB$ و (1) و (2) ادعای هرون را اثبات کنید.
$\left. \begin{gathered}
A'B = A'M + MB\xrightarrow{{A'M = AM}}A'B = AM + MB \hfill \\
A'B \lt A'{M_1} + {M_1}B \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow AM + MB \lt A'{M_1} + {M_1}B$
و چون نقطهٔ ${M_1}$ دلخواه بود پس ادعای هرون ثابت میشود.
سوال: در روش هرون نقطهٔ $A'$ طرف دیگر رودخانه قرار دارد. اگر در عمل به دنبال یافتن کوتاهترین مسیر مورد نظر باشیم و امکان رفتن به طرف دیگر رودخانه نباشد، چگونه نقطهٔ $M$ را میتوان پیدا کرد؟
(راهنمایی: از تشابه دو مثلث $AHM$ و $BH'M$ کمک بگیرید و توجه داشته باشید که اندازههای $AH$ و $BH'$ دو مقدار معلوم هستند.)
نقطه $M$ روی عمودمنصف $AA'$ است بنابراین $MA = MA'$ پس مثلث $MAA'$ متساویالساقین است در نتیجه خط $d$ نیمساز زاویهٔ $\widehat {AMA'}$ است.
$\left. \begin{gathered}
{M_1} = {M_3} \hfill \\
{M_3} = {M_2} \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow {M_1} = {M_2}$
ب) دو شهر $A$ و $B$ مطابق شکل در یک طرف رودخانهای واقعاند. میخواهیم جادهای از $A$ به $B$ بسازیم بهطوری که 4 کیلومتر از این جاده در ساحل رودخانه ساخته شود. این 4 کیلومتر را در چه قسمتی از رودخانه بسازیم تا مسیر $ACDB$ کوتاهترین مسیر ممکن باشد؟
حل: مسئله را در چند مرحله حل میکنیم.
1- اگر جادهٔ ساحلی را از صورت مسئله حذف کنیم، به عبارتی اگر $CD = 0$، این مسئله به کدام یک از مسائلی شبیه است که قبلاً دیدهاید؟
مسئلهٔ هرون مردی که از رودخانه میخواهد آب بردارد و به اسطبل ببرد.
2- با توجه به شرایط مسئله، مسیر موردنظر، باید مسیری به شکل مسیر $ACDB$ باشد؛ اما؛
(چرا؟) طول مسیر $ = ACB'B$ طول مسیر $ACDB$
در واقع نقطهی $C$ تحت بردار انتقالی به طول 4 به $D$ منتقل شده و نقطهٔ $B'$ نیز تحت همان بردار به $B$ منتقل شده اس بنابراین با توجه به خواص تبدیل انتقالی چهارضلعی $CDBB'$ متوازیالاضلاع است. پس:
مسیر $ = AC + CD + DB\xrightarrow[{CB'DB}]{{CD = B'B}}ACDB = AC + CB' + B'B = ACB'B$ مسیر $ACDB$
بنابراین:
$ + 4$ طول مسیر $ = ACB'$ طول مسیر $ACDB$
3- پس کافی است برای پیدا کردن کوتاهترین مسیر ممکن به شکل $ACDB$ مسیر را به گونهای انتخاب کنیم که طول $ACB'$ کوتاهترین طول ممکن باشد.
4- به کمک مراحل 1 تا 3 و شکل زیر توضیح دهید که رسم کوتاهترین مسیر $ACDB$ چگونه است.
ابتدا نقطهٔ $B$ را تحت بردار انتقالی به طول 4 و موازی رودخانه و در جهت شهر $A$ به نقطهٔ $B'$ انتقال میدهیم؛ حالا مسئله شبیه مسئلهی اسطبل میشود. بازتاب نقطه $A$ را نسبت به خط کنار رودخانه بهدست میآوریم یعنی نقطهٔ $A'$ سپس از $A'$ به $B'$ وصل میکنیم نقطهٔ $C$ بهدست میآید. از نقطهٔ $C$ موازی رودخانه به سمت شهر $B$ و به طول 4 متر حرکت میکنیم تا نقطهٔ $D$ بهدست آید. به این ترتیب کوتاهترین مسیر رسم میشود.
کار در کلاس (صفحه 55 کتاب درسی)
اگر دو شهر $A$ و $B$ دو طرف رودخانه باشند و بخواهیم جادهای از $A$ به $B$ بسازیم به طوری که پل $MN$ بر راستای رودخانه عمود باشد، محل احداث پل را کجا در نظر بگیریم که مسیر $AMNB$ کوتاهترین مسیر ممکن باشد؟
راهنمایی: به کمک فعالیت قبل و با توجه به تصویر داده شده، طریقۀ رسم مسیر $AMNB$ را شرح دهید و مشخص کنید چرا این مسیر، کوتاهترین مسیر ممکن است.
$ = AM + NB + MN = AMNB$ مسیر $ = AM + MB' + BB'\xrightarrow[{MN = BB'}]{{MB' = NB}}AMB'B$ مسیر $AMB'B$
تمرین (صفحه 56 کتاب درسی)
1- دور زمینهایی مطابق شکل حصارکشی شده است. چطور میتوان بدون کم و زیاد کردن حصارها، مساحت زمین را افزایش داد؟
|
الف)
|
ب)
|
|
|
|
2- میخواهیم کنار رودخانهها، 3 اسکله بسازیم. جای 2 اسکلهٔ $A$ و $B$ مطابق شکل مشخص است. اسکلهٔ $M$ را در چه نقطهای از ساحل رودخانه بسازیم که قایقها هنگام طی مسیر $MABM$ کوتاهترین مسیر را طی کنند؟
با توجه به شکل، واضح است که عرض رودخانه در طول مسیر ثابت در نظر گرفته شده است. پس از نقطه $B$ یا $A$ روش هرون را برای پیدا کردن نفطه $M$ اجرا میکنیم.
3- سه خط دو به دو ناموازی $I$ و $I'$ و $I''$ در صفحه مفروضاند. پارهخطی به طول 5 سانتیمتر رسم کنید که دو سر آن را روی $I$ و $I'$، و موازی $I''$ باشد.
خط $L'$ را تحت بردار $\overrightarrow {BA} $ (برداری به موازات خط $L''$ و به طول 5 واحد) انتقال میدهیم تا خط ${L_1}$ بهدست آید. این خط، خط $L$ را در نقطهای مانند $M$ قطع میکند. از نقطه $M$ موازی خط $L''$ خطی رسم میکنیم تا خط $L'$ را در نقطه $N$ قطع کند. پارهخط $MN$ جواب مسئله است.
4- فرض کنید $G$ محل برخورد میانههای مثلث $ABC$ (مرکز ثقل آن) باشد و مثلث $A'B'C'$ مجانس مثلث $ABC$ در تجانس به مرکز $G$ و نسبت $K = - \frac{1}{2}$ باشد.
الف) جایگاه رأسهای $A'$ و $B'$ و $C'$ نسبت به مثلث $ABC$ کجاست؟
$A'$ وسط $BC$، $B'$ وسط $AC$ و $C'$ وسط $AB$ قرار دارند. با توجه به خاصیت مرکز ثقل میدانیم که $GA' = \frac{1}{2}GA$ همچنین نقطه $G$ بین $A$ و $A'$ قرار دارد؛ پس نقطه $A'$ مجانس نقطه $A$ به مرکز تجانس $G$ و نسبت تجانس $K = - \frac{1}{2}$ است. همین مطلب در مورد نقاط $B'$ و $C'$ نیز صدق میکند.
ب) مساحت مثلث $A'B'C'$ چه کسری از مساحت مثلث $ABC$ است؟
با توجه به ویژگی تجانس مساحت مثلث $A'B'C'$، $\frac{1}{4}$ مساحت مثلث $ABC$ است.
5- زمینی به شکل زیر داریم، میخواهیم بدون آنکه محیط این زمین تغییر کند مساحتش را افزایش دهیم در هر مورد میزان افزایش مساحت را حساب کنید.
|
|
|
خواندنی: مجله ریاضی (صفحه 57 تا 60 کتاب درسی)
تبدیلهای تقارنی یک شکل هندسی
در بسیاری از مناظر طبیعی، گیاهان و جانوران، ساختار اتمها، معماری، هنرهای مختلف دستی و نیز شکلهای هندسی میتوان نوعی نظم و تعادل مشاهده کرد. در این بخش تبدیلهایی را مرور میکنیم که یک شکل را به خود آن شکل نظیر میکنند. چنین تبدیلهایی را تبدیلهای تقارنی آن شکل مینامیم. فعالیت زیر برای روشنتر شدن این موضوع، طراحی شده است.
مثلث متساویالاضلاعی را در نظر بگیرید:
الف) بازتاب این مثلث نسبت به خط داده شده چگونه است؟ خود مثلث است
ب) آیا تحت این بازتاب تصویر هر نقطه از شکل لزوما خود آن نقطه است؟خیر
پ) آیا تحت این بازتاب، تصویر هر نقطه از شکل، روی خود شکل است؟ بله
ت) آیا خط بازتاب دیگری برای این مثلث سراغ دارید؟ بله عمودمنصف دو ضلع دیگر
این مثلث چند خط بازتاب دارد؟ سه تا
ث) آیا غیر از بازتاب، تبدیل دیگری سراغ دارید که هر نقطه از شکل را به نقطهای از همان شکل ببرد؟بله دوران
برای مثال آیا با مرکز $O$ (نقطه همرسی نیمسازها) میتوانید دورانهایی معرفی کنید که شکل را بر خودش منطبق کند؟ 120 درجه
اگر $0 \lt \alpha \leqslant 360$ زاویهٔ دوران باشد، چند دوران به مرکز $O$ و زاویه $\alpha $ میتوانید مشخص کنید؟ 120 درجه و 240 درجه و 360 درجه
همانگونه که در این فعالیت دیدید در مثلث متساویالاضلاع، سه بازتاب و سه دوران متفاوت میتوان معرفی کرد که نقاط این مثلث را به نقاطی از همین مثلث نظیر کند.
به عبارتی، تحت این تبدیلها تصویر این مثلث بر خودش منطبق میشود؛ چنین تبدیلهایی را تبدیلهای تقارنی این مثلث مینامیم. در اینجا برای شناسایی تبدیلهای تقارنی یک شکل، شکل را تنها در یک جهت (خلاف یا موافق جهت حرکت عقربههای ساعت) دوران میدهیم؛ با این تعریف، مثلث متساویالاضلاع دارای 6 تبدیل تقارنی است.
دقت کنید که دوران ${360^ \circ }$، تبدیل انتقال با بردار صفر و تبدیل تجانس با نسبت تجانس $k = 1$، علاوه بر اینکه هر شکل را به خود آن شکل نظیر میکنند هر نقطه از شکل را نیز به خود آن نقطه نظیر میکنند. که پیش از این، آنها را «تبدیلهای همانی» نامیدیم. بنابراین تمام تبدیلهای همانی فقط یک تبدیل تقارنی به شمار میرود.
مثال: شش ضلعی منتظم، 6 تقارن بازتابی و 6 تقارن دورانی دارد.
تقارنهای دورانی:
همانطور که اشاره شد تقارن دورانی با زاویهٔ ${360^ \circ }$، انتقال با بردار صفر و تجانس با نسبت تجانس $k = 1$ تبدیلهای همانی هستند.
تبدیلهای همانی را تقارن همانی نیز مینامند؛ با این تعریف، هر شکلی دارای تقارن همانی است.
شکلهای زیر را بهعنوان تصویر دو بعدی در نظر بگیرید و جدول را کامل کنید:
|
|
|
|
| تقارنهای دورانی | تعداد تقارنهای بازتابی | تعداد کل تقارنها |
| 360، 288، 216، 144 ، ${72^ \circ }$ | 5 تا | 10 تا |
تعداد تبدیلهای تقارنی را در هر شکل مشخص کنید.
الف) پارهخط
پارهخط دو تقارن دورانی دارد که مرکز آن وسط پارهخط و زاویههای آن ${180^ \circ }$ و ${360^ \circ }$ است. و یک تقارن بازتابی دارد که عمود منصف پارهخط است.
ب) خط
خط بیشمار تقارن دورانی و بیشمار تقارن بازتابی دارد.
پ) دایره
دایره بیشمار تقارن دورانی و بیشمار تقارن بازتابی دارد.
مسائلی برای علاقهمندان
1- الف) با تکمیل جدول زیر تعداد تبدیلهای تقارنی $n$ ضلعی منتظم را مشخص کنید.
| $n$ | ... | $n = 8$ | $n = 7$ | $n = 6$ | $n = 5$ | $n = 4$ | $n = 3$ | $n$ ضلعی منتظم |
|
|
|
|
|
|
|
|||
| $n$ تا | 8 تا | 7 تا | 6 تا | 5 تا | 4 تا | 3 تا | تعداد تقارنهای بازتابی | |
| $n$ تا | 8 تا | 7 تا | 6 تا | 5 تا | 4 تا | 3 تا | تعداد تقارنهای دورانی | |
| $2n$ | 16 تا | 14 تا | 12 تا | 10 تا | 8 تا | 6 تا | تعداد کل تبدیلهای تقارنی | |
| بله | خیر | بله | خیر | بله | خیر | آیا شکل مرکز تقارن دارند؟ |
ب) $n$ ضلعی منتظم در چه صورتی مرکز تقارن دارد؟
اگر $n$ باشد شکل مرکز تقارن دارد.
پ) الگویی برای پیدا کردن زاویههای دوران در تقارنهای دورانی یک $n$ ضلعی منتظم ارائه کنید.
$\frac{{{{360}^ \circ }}}{n}\,,\,(\frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \times 2)\,,\,(\frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \times 3)\,,\,....\,,(\frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \times n)$
2- تقارنهای خطی و دورانی متوازیالاضلاع، مستطیل، لوزی، مثلث متساویالساقین و ذوزنقهٔ متساویالساقین را مشخص کنید و در جدولی بنویسید.
کدام یک از این شکلهای هندسی، مرکز تقارن دارند؟
| متوازی الاضلاع | ذوزنقه متساویالساقین | مثلث متساویالساقین | لوزی | مستطیل | چند ضلعی |
|
|
|
|
|
|
|
| ندارد | یک | یک | 2 تا | 2 تا | تعداد تقارنهای بازتابی |
| 2 تا | یک | یک | 2 تا | 2 تا | تعداد تقارنهای دورانی |
| 2 تا | 2 تا | 2 تا | 4 تا | 4 تا | تعداد کل تبدیلهای تقارنی |
| بله | خیر | خیر | بله | بله | آیا شکل مرکز تقارن دارد؟ |
محور بازتاب مستطیل عمودمنصفهای طول و عرض است و مرکز دوران محل برخورد عمودمنصفها (یا قطرها) است.
محور بازتاب لوزی قطرهای آن و مرکز دوران محل برخورد قطرها است.
محور بازتاب مثلث متساوی الساقین عمودمنصف قاعده است و مرکز دوران محل برخورد عمودمنصفهای سه ضلع است. زاویه دوران ${{{360}^ \circ }}$ است یعنی تقارن دورانی همانی دارد.
محور بازتاب ذوزنقه متساوی الساقین محل عمودمنصف قاعدهها است و مرکز دوران محل برخورد قطرها است. زاویه دوران ${{{360}^ \circ }}$ است یعنی تقارن دورانی همانی دارد.
مرکز دوران متوازی الاضلاع محل برخورد قطرهای آن است.
3- الف) شکلی رسم کنید که خط بازتاب داشته باشد، ولی مرکز تقارن نداشته باشد (یعنی تقارن خطی داشته باشد، اما تقارن دورانی غیرهمانی نداشته باشد).
مثلث و ذوزنقهٔ متساویالساقین خط بازتاب دارند، ولی تقارن دورانی غیرهمانی ندارند.
ب) شکلی رسم کنید که مرکز تقارن داشته باشد، ولی خط بازتاب نداشته باشد (یعنی تقارن دورانی غیرهمانی داشته باشد، اما تقارن خطی نداشته باشد).
متوازیالاضلاع مرکز تقارن دارد ولی خط بازتاب ندارد.
4- نشان دهید اگر شکلی دو خط بازتاب عمود بر هم داشته باشد، محل تلاقی این دو خط، مرکز تقارن شکل است (در واقع هر شکل که دارای دو تقارن بازتابی باشد که دو خط بازتاب آن بر هم عمود باشند، دارای تقارن دورانی است).
$d$ و $d'$ دو خط بازتاب عمود بر هم هستند و نقطهٔ $A$ یک نقطهی دلخواه از شکل است.
(1)
$\left. \begin{gathered}
S(A) = A' \Rightarrow {{\hat O}_1} = {{\hat O}_2} \\
S(A') = A'' \Rightarrow {{\hat O}_3} = {{\hat O}_4} \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \widehat {AOA''} = {\hat O_1} + {\hat O_2} + {\hat O_3} + {\hat O_4} = 2{\hat O_2} + 2{\hat O_3} = 2(\underbrace {{{\hat O}_2} + {{\hat O}_3}}_{{{90}^ \circ }}) \Rightarrow \widehat {AOA''} = {180^ \circ }$
$\left. \begin{gathered}
S(A) = A' \Rightarrow OA = OA' \\
S(A') = A'' \Rightarrow OA' = OA'' \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow OA = OA''$
از (1) و (2) نتیجه میگیریم که نقطهٔ $O$ مرکز دوران به زاویه ${180^ \circ }$ است.
با توجه به جدول سوال قبل مستطیل و لوزی همین خاصیت را دارند. اما سوال این است که آیا اگر شکلی مرکز تقارن داشته باشد حتماً دو محور بازتاب عمود برهم دارد؟ پاسخ با یک مثال نقض داده میشود. متوازیالاضلاع مرکز تقارن دارد یعنی یک دوران با زاویه ${180^ \circ }$ اما محور بازتاب ندارد.
5- جدول زیر را کامل کنید.
|
|
|
|
|
|
شکل |
| 8 تا | 6 تا | 3 تا | ندارد | یک | تقارن بازتابی |
| 8 تا | 6 تا | 3 تا | یک | یک | تقارن دورانی |
| 16 تا | 12 تا | 6 تا | یک | 2 تا | تعداد تبدیلهای تقارنی |
